APLIKASI TURUNAN

Turunan fungsi dapat digunakan untuk menentukan gradien garis singgung suatu kurva, menentuka posisi naik atau turunnya suatu fungsi, menentukan nilai stationer dan beberapa aplikasi pada persamaan gerak serta masalah yang terkait dengan masalah maksimum dan minimum.

Berikut beberapa contoh – contoh soal aplikasi turunan beserta pembahasannya:

Contoh soal aplikasi turunan:

Soal Nomor 1.

Suatu benda bergerak dengan fungsi gerakdengan y  dalam meter dan t dalam detik. Berapakah kecepatan benda tersebut saat t = 2 detik?.

Pembahasan Nomor 1.

Kecepatan suatu benda merupakan turunan dari fungsi gerak benda tersebut.

Fungsi gerak benda adalah , sehingga

kecepatan benda tersebut adalah y’.

      .

      Untuk t = 2 detik, kecepatan benda tersebut adalah

      Jadi kecepatan dari benda tersebut adalah 16 m/s.

Soal Nomor 2.

Dua bilangan positif jumlahnya 25. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum!.

Pembahasan Nomor 2.

Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y.

Karena jumlah kedua bilangan tersebut adalah 25 sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut,

, 

Selanjutnya misalkan P adalah hasil kali kedua bilangan tersebut., dengan substitusi bentuk  didapatkan:

Karena yang dicari hasil kali maksimumnya, maka yang dicari adalah

Bilangan pertamanya adalah 25/2, sehingga bilangan kedua adalah

Jadi kedua bilangan tersebut adalah 25/2 dan 25/2.

Soal Nomor 3.

Alas sebuah kotak tanpa tutup berbentuk persegi dibuat dari karton.  Jika volume kotak tersebut adalah 8 m³ maka tentukan ukuran kotak tersebut agar karton yang dibutuhkan minimum!

Pembahasan Nomor 3.

Misalkan rusuk alas kotak (berbentuk persegi) adalah x  dan tinggi kotak y.

Persamaan volume untuk kotak adalah

 bentuk ini dapat dirubah menjadi .

Yang dicari minimum adalah ukuran karton (luas permukaan kotak tanpa tutup), persamaan untuk luas permukaan kotak tanpa tutup adalah sebagai berikut., dengan Karena mencari minimum karton, maka yang dicari adalah L’=0, sehingga didapatkan bentuk sebagai berikut., bentuk ini dapat dirubah menjadi , dengan mengalikan kedua ruas dengan x2  dan membagi dengan 2, didapatkan bentuk sebagai berikut.

Nilai x yang didapatkan selanjutnya disubstitusikan ke , sehingga didapatkan bentuk sebagai berikut.(penjabaran hasil terakhir diserahkan kepada pembaca).

Soal Nomor 4.

Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya total keuntungan yang dicapai maksimal, berapa banyak barang yang harus diproduksi?

Pembahasan Nomor 4.

Keuntungan tiap barang adalah (225x – x2) rupiah. Dengan memproduksi x buah barang, sehingga besarnya keuntungan total adalah 

Nilai maksimum dari U(x) dapat dicapai saat turunan pertamanya sama dengan nol., kedua ruas dibagi dengan 3 sehingga didapatkan bentuk sebagai berikut.

, dengan memfaktorkan kedua ruas didapatkan nilai x yaitu.

x₁ = 0 , x₂ = 150 ,

sehingga banyaknya barang yang harus diproduksi agar keuntungan mencapai maksimum adalah 150 buah.

Soal Nomor 5.

Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm/s. Berapakah laju pertambahan volumenya pada saat panjang rusuknya 15 cm?

Pembahasan Nomor 5.

Misalnya panjang rusuk kubus tersebut adalah s, sehingga volume kubusnya (V) = s³.

Laju bertambahnya panjang terhadap waktu adalah 

Laju bertambahnya volume terhadap waktu adalah sebagai berikut.

, dengan  maka . Substitusikan bentuk ini ke persamaan  sehingga didapatkan bentuk

.

Untuk panjang rusuk (s) = 15, laju bertambahnya volume terhadap waktu didapatkan sbeagai berikut.

.

Soal Nomor 6.

Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari, dengan biaya proyek per hari 

 ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam berapa hari?

Pembahasan Nomor 6.

            Misalkan f(x) menyatakan biaya proyek selama x hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga persamaan f(x) akan menjadi seperti berikut.

            ,

            Agar biaya proyek minimum, nilai x dapat ditentukan saat f’(x) = 0, yaitu:

            Dengan , sehingga f’(x) akan menjadi:

            

            Jadi agar proyeknya minimum, proyek terebut harus diselesaikan dalam waktu 150 menit.

Untuk menambah pemahaman kalian, coba kerjakan soal-soal berikut ini.

Soal 1.

          Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam x hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesarratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah . . . juta rupiah.

Soal 2.

          Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling  meter dan lebar  meter. Agar luas taman maksimum, berapa panjang taman tersebut?

Soal 3.

       Benny akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara 40 cm³/s dan laju pertambahan jari-jari 20 cm/s, maka berapa panjang jari-jari bola tersebut?

Soal 4.

          Hasil kali dua buah bilangan positif  adalah 80. Tentukan kedua bilangan bilangan tersebut agar jumlah kedua bilangan tersebut minimu!

Soal 5.

          Sebuah balok akan dibuat tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi. Jika volume balok adalah 32 cm³, maka tentukanlah luas permukaan balok maksimum yang mungkin dicapai!

Soal 6.

           Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal V₀ m/s. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi . Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh peluru tersebut!.

Soal 7.

          Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ribu rupiah per hari.  Biaya minimum per hari untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah . . .

Soal 8.

          Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus . Reaksi maksimum tercapai setelah . . .

Soal 9.

   Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan . Nilai minimum dari adalah . . .