Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode untuk menentukan hampiran akar suatu fungsi riil. Dibandingkan dengan metode bagi dua, metode Newton-Raphson bisa diakatakan metode yang lebih mudah karena hanya memerlukan satu titik awal. Namun satu tambahan syarat pada metode Newton-Raphson adalah fungsi f harus memiliki turunan dan turunannya bersifat kontinu.

Metode Newton-Raphson merupakan metode yang menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Tapi garis lurus yang digunakan adalah garis singgung dari grafik fungsi yang diberikan. Jadi semakin dekat titik awal yang dipilih dengan akar sebenarnya, maka semakin konvergen ke akarnya.

Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan intepretasi geometric (sebuah metode yang didasarkan pada deret Taylor) seperti terlihat pada gambar di atas. Turunan pertama pada x_n ekuivalen dengan kemiringan:

  (bagi pembaca, coba jelaskan mengapa)

Yang bentuknya dapat dirubah menjadi:

, yang selanjutnya dinamakan dengan formula Newton-Raphson.

Gagasan dasar dari metode Newton-Raphson adalah grafik f dihampiri oleh garis-garis singgung yang bersesuaian. Adapun langkah-langkah dari metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut.

1.      Tentukan x₀  sebagai titik awal, selanjutnya tentukan, dengan ketentuan bahwa (bagi pembaca, coba paparkan apa yang terjadi bila pernyataan ini tidak diberikan?)

2.      Tetapkan x₁ sebagai titik potong  gasris singgung yang melaluidengan sumbu x. Untuk menentukan x₁ gunakan formula 

3.      Selanjutnya, dengan cara yang sama tentukan nilai x₂, x₃ dan seterusnya.

4.      Iterasi dapat dihentikan bila dua iterasi beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama atau.

Contoh:

Dengan metode Newton-Raphson, tentukanlah akar dari persamaan!

(solusi (berbantuan Microsoft excel) ini dapat dilihat pada video pembelajaran di bawah ini)

Metode Bagi Dua

Dalam matematika terapan sering ditemui masalah untuk mencari penyelesaian persamaan yang berbentuk f ( x) = 0 , dimana persamaan f ( x) dapat berbentuk sebagai persamaan aljabar, persamaan transenden atau persamaan campuran. Nilai-nilai x yang memenuhi disebut akar persamaan. Persoalan dalam mencari akar persamaan ini sering juga dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Sebelum ditemukannya komputer digital, terdapat sejumlah cara untuk mencari akar-akar persamaan seperti rumus kuadrat. Untuk beberapa kasus, akar-akar dapat diperoleh secara analitis, yakni penyelesaian yang dihasilkan akan memenuhi persamaan semula secara eksak. Namun masih ada banyak lagi yang kelihatannya sederhana seperti f (x) = e^{− x} − x tetapi tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam kasus demikian salah satu alternatif penyelesaiannya adalah dengan metode numerik, khususnya yang paling tepat metode-metode iterasi numeris. Dengan metode numerik penyelesaian yang dihasilkan berupa hampiran. Metode ini sangat penting dalam terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar dari suatu persamaan, salah satunya yang akan dibahas yaitu metode bagi dua.

METODE BAGI DUA

Metode ini didasarkan pada Teorema Nilai Antara untuk fungsi kontinu , yaitu bahwa suatu selang [a,b] harus memuat suatu titik nol f (akar persamaan f) bila f (a) dan f (b) berlawanan tanda, misalnya f (a) < 0, f (b) > 0 . Hal ini menyarankan metode pengulangan pembagiduaan selang dan dalam setiap langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyaratan tersebut.

Metode Bagi-Dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, dimana a < b, yang harus memenuhi f (a). f (b) < 0 sehingga selang (a, b) memuat satu akar riil. Mula-mula ditentukan titik tengah selang (a, b) , sebut titik tengahnya c. Diantara dua selang baru yang diperoleh yakni (a, c) dan (c, b), salah satu diantaranya pasti memuat akar. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang memuat akar tersebut. Proses pembagiduaan selang ini diulang dan dilanjutkan sampai lebar yang ditinjau cukup kecil atau dengan kata lain untuk memperoleh taksiran/hampiran yang diperhalus.

Penentuan selang yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil

kali  f (a). f (c) atau  f (c). f (b).

·         Bila f (a). f (c) < 0  maka akar berada pada selang (a,c)

·         Bila f (a). f (c) = 0 maka akarnya adalah c

·         Bila f (a). f (c) > 0 maka akar berada pada selang (c,b)

Secara geometri metode ini diilustrasikan pada Gambar di bawah ini.

Dalam algoritma Metode Bagi-Dua digunakan peubah-peubah: a sebagai ujung kiri selang, b sebagai ujung kanan selang, dan c sebagai titik tengah. Dari penjelasan diatas, Algoritma Metode Bagi-Dua dapat dibentuk sebagai berikut.

Masukan                     :   f ( x) , a, b dan epsilon

Keluaran                     : akar

Langkah-langkah        :

1. Periksa apakah    f (a). f (b) < 0 , jika tidak pilih a dan b yang baru sehingga f(  a). f (b) < 0
2. Hitung 
3.  Jika  f (a). f (c) < 0 maka b : = c, lanjutkan ke langkah 4, Jika  f (a). f (c) > 0 maka a : = c, lanjutkan ke langkah ke langkah 4,  Jika  f (a). f (c) = 0 maka akar persamaan adalah c, hitungan selesai
4.  Jika b − a ≤ epsilon maka akar c dan hitungan selesai. Jika tidak ulangi langkah 2.

Lembar kerja dapat diunduh pada link berikut [lihat/download]

Sebagai tambahan sumber belajar serta bahan untuk latihan soal, video pembelajaran tentang metode bagi dua dapat dilihat pada video di bawah ini.

Definisi Dasar Geometri

Seperti halnya di dalam buku Element karya Euclide ada yang disebut dengan istilah primitive. Istilah primitif ditujukan untuk konsep – konsep sederhana yang mudah dipahami dan sulit dibuatkan batasannya. Yang kemudian oleh para akhli geometri modern konsep-konsep tersebut dikelompokkan ke dalam istilah-istilah yang tidak didefinisikan (undefined). Dalam struktur geometri modern khususnya dan matematika pada umumnya terdapat istilah-istilah yang telah disepakati dan menjadi pedoman bagi semua orang yang mempelajari geometri, matematika, atau cabang matematika yang lain. Istilah-istilah tersebut adalah: 1) unsur – unsur yang tidak didefinisikan, 2) unsur – unsur yang didefinisikan, 3) aksioma/postulat, dan 4) teorema/dalil/rumus.

Unsur yang tidak didefinisikan atau pengertian pangkal adalah konsep primitif yang mudah dipahami dan sulit dibuatkan definisinya, seperti titik, garis, dan bidang. Apabila kita paksakan untuk membuat definisi untuk unsur primitif tersebut maka akan terjadi blunder. Misalnya kita akan membuat definisi untuk titik, seperti titik adalah sesuatu yang menempati tempat. Kemudian kita harus mendefiniskan lagi sesuatu yang menempati tempat itu apa, misalnya noktah yang ada pada bidang. Kemudian kita harus mendefinisikan tentang noktah itu apa, dan seterusnya. Sehingga dalam definisi terdapat definisi dan begitu seterusnya. Oleh karena itu semua konsep yang memiliki sifat demikian dimasukan ke dalam katagori unsur primitif atau unsur yang tidak terdefinisi.

Unsur-unsur yang didefinisikan adalah konsep yang mempunyai definisi atau batasan. Sehingga dengan definisi konsep-konsep tersebut menjadi jelas, tidak ambigius atau tidak bermakna ganda. Syarat sebuah definisi adalah harus singkat, padat, jelas, dan tidak mengandung pengertian ganda. Unsur yang didefinisikan adalah konsep-konsep yang dikembangkan dari unsur yang tidak didefinisikan. Misalnya, sinar garis, ruas garis, segitiga, segiempat dikembangkan dari konsep garis sebagai unsur yang tidak didefinisikan. Aksioma adalah anggapan dasar yang disepakati benar tanpa harus dibuktikan. Yang termasuk ke dalam aksioma adalah sesuatu atau konsep yang secara logika dapat diterima kebenaranya tanpa harus dibuktikan.

Titik, dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk,tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar,atau tinggi. Titik adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak orang yang memikirkannya. Secara simbol dapat dituliskan dengan huruf tegak kapital (A, B, C, D, dst).

Garis, . Garis adalah ide atau gagasan abstrak yang bentuknya lurus,memanjang ke dua arah, tidak terbatas atau tidak bertitik akhir, dan tidak tebal. Garis adalah ide atau gagasan yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang memikirkannya. Garis merupakan kumpulan tak berhingga banyaknya titik. Secara sederhana, garis ditentukan oleh dua buah titik yang berbeda. Secara simbolis, garis dapat dituliskan dengan huruf kecil dan miring (g, h, j, k, dst).

Bidang, Bidang masuk ke dalam bangun dua dimensi, karena bidang dibentuk oleh dua unsur yaitu panjang dan lebar. Model bidang dapat digambarkan oleh bagian dari benda, misalnya bagian permukaan kaca, permukaan daun pintu, lembaran kertas, atau dinding tembok kelas yang rata. Atau bidang dapat diperoleh dengan cara mengiris tipis-tipis permukaan benda sehingga diperoleh lembaran-lembaran tipis, misalnya bagian salah satu sisi balok diiris-iris menjadi bagian-bagian yang tipis. Bagian-bagian tersebut adalah model-model bidang. Secara simbolis, bidang dapat dituliskan dengan huruf kapital miring (V, W, X, Y, dst) atau dengan menyebutkan titik titik sudut dari bidang tersebut (bidang ABCD, bidang EFG, dst).

Secara lengkap materi ini dapat diunduh dari link berikut [lihat/download].

Untuk meningkatkan pemahaman, kuis secara online akan dilakukan melalui link : joinmyquiz.com. Kuis ini hanya dapat diakses pada hari senin 23 Maret 2020 Pukul 18.00. Silakan login ke link tersebut dengan mengisi kode yang sebelumnya diberikan.