Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode untuk menentukan hampiran akar suatu fungsi riil. Dibandingkan dengan metode bagi dua, metode Newton-Raphson bisa diakatakan metode yang lebih mudah karena hanya memerlukan satu titik awal. Namun satu tambahan syarat pada metode Newton-Raphson adalah fungsi f harus memiliki turunan dan turunannya bersifat kontinu.

Metode Newton-Raphson merupakan metode yang menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Tapi garis lurus yang digunakan adalah garis singgung dari grafik fungsi yang diberikan. Jadi semakin dekat titik awal yang dipilih dengan akar sebenarnya, maka semakin konvergen ke akarnya.

Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan intepretasi geometric (sebuah metode yang didasarkan pada deret Taylor) seperti terlihat pada gambar di atas. Turunan pertama pada x_n ekuivalen dengan kemiringan:

  (bagi pembaca, coba jelaskan mengapa)

Yang bentuknya dapat dirubah menjadi:

, yang selanjutnya dinamakan dengan formula Newton-Raphson.

Gagasan dasar dari metode Newton-Raphson adalah grafik f dihampiri oleh garis-garis singgung yang bersesuaian. Adapun langkah-langkah dari metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut.

1.      Tentukan x₀  sebagai titik awal, selanjutnya tentukan, dengan ketentuan bahwa (bagi pembaca, coba paparkan apa yang terjadi bila pernyataan ini tidak diberikan?)

2.      Tetapkan x₁ sebagai titik potong  gasris singgung yang melaluidengan sumbu x. Untuk menentukan x₁ gunakan formula 

3.      Selanjutnya, dengan cara yang sama tentukan nilai x₂, x₃ dan seterusnya.

4.      Iterasi dapat dihentikan bila dua iterasi beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama atau.

Contoh:

Dengan metode Newton-Raphson, tentukanlah akar dari persamaan!

(solusi (berbantuan Microsoft excel) ini dapat dilihat pada video pembelajaran di bawah ini)