Metode Bagi Dua

Dalam matematika terapan sering ditemui masalah untuk mencari penyelesaian persamaan yang berbentuk f ( x) = 0 , dimana persamaan f ( x) dapat berbentuk sebagai persamaan aljabar, persamaan transenden atau persamaan campuran. Nilai-nilai x yang memenuhi disebut akar persamaan. Persoalan dalam mencari akar persamaan ini sering juga dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Sebelum ditemukannya komputer digital, terdapat sejumlah cara untuk mencari akar-akar persamaan seperti rumus kuadrat. Untuk beberapa kasus, akar-akar dapat diperoleh secara analitis, yakni penyelesaian yang dihasilkan akan memenuhi persamaan semula secara eksak. Namun masih ada banyak lagi yang kelihatannya sederhana seperti f (x) = e^{− x} − x tetapi tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam kasus demikian salah satu alternatif penyelesaiannya adalah dengan metode numerik, khususnya yang paling tepat metode-metode iterasi numeris. Dengan metode numerik penyelesaian yang dihasilkan berupa hampiran. Metode ini sangat penting dalam terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar dari suatu persamaan, salah satunya yang akan dibahas yaitu metode bagi dua.

METODE BAGI DUA

Metode ini didasarkan pada Teorema Nilai Antara untuk fungsi kontinu , yaitu bahwa suatu selang [a,b] harus memuat suatu titik nol f (akar persamaan f) bila f (a) dan f (b) berlawanan tanda, misalnya f (a) < 0, f (b) > 0 . Hal ini menyarankan metode pengulangan pembagiduaan selang dan dalam setiap langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyaratan tersebut.

Metode Bagi-Dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, dimana a < b, yang harus memenuhi f (a). f (b) < 0 sehingga selang (a, b) memuat satu akar riil. Mula-mula ditentukan titik tengah selang (a, b) , sebut titik tengahnya c. Diantara dua selang baru yang diperoleh yakni (a, c) dan (c, b), salah satu diantaranya pasti memuat akar. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang memuat akar tersebut. Proses pembagiduaan selang ini diulang dan dilanjutkan sampai lebar yang ditinjau cukup kecil atau dengan kata lain untuk memperoleh taksiran/hampiran yang diperhalus.

Penentuan selang yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil

kali  f (a). f (c) atau  f (c). f (b).

·         Bila f (a). f (c) < 0  maka akar berada pada selang (a,c)

·         Bila f (a). f (c) = 0 maka akarnya adalah c

·         Bila f (a). f (c) > 0 maka akar berada pada selang (c,b)

Secara geometri metode ini diilustrasikan pada Gambar di bawah ini.

Dalam algoritma Metode Bagi-Dua digunakan peubah-peubah: a sebagai ujung kiri selang, b sebagai ujung kanan selang, dan c sebagai titik tengah. Dari penjelasan diatas, Algoritma Metode Bagi-Dua dapat dibentuk sebagai berikut.

Masukan                     :   f ( x) , a, b dan epsilon

Keluaran                     : akar

Langkah-langkah        :

1. Periksa apakah    f (a). f (b) < 0 , jika tidak pilih a dan b yang baru sehingga f(  a). f (b) < 0
2. Hitung 
3.  Jika  f (a). f (c) < 0 maka b : = c, lanjutkan ke langkah 4, Jika  f (a). f (c) > 0 maka a : = c, lanjutkan ke langkah ke langkah 4,  Jika  f (a). f (c) = 0 maka akar persamaan adalah c, hitungan selesai
4.  Jika b − a ≤ epsilon maka akar c dan hitungan selesai. Jika tidak ulangi langkah 2.

Lembar kerja dapat diunduh pada link berikut [lihat/download]

Sebagai tambahan sumber belajar serta bahan untuk latihan soal, video pembelajaran tentang metode bagi dua dapat dilihat pada video di bawah ini.