Menentukan Jarak Antara Titik dengan Garis Pada Bidang Datar

Pada kedudukan titik di luar garis, tentulah terdapat jarak antara titik dengan garis.Berikut adalah langkah-langkah menentukan jarak antara titik dengan garis pada bidang datar.

1.    Proyeksi sebuah titik A pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus terhadap garis g.

2.    Perpotongan garis tegak lurus dari titik A dengan garis g yaitu titik A’, disebut proyeksi titik A pada garis g.

3.    Jarak antara titik A dan garis g adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dari titik A ke garis g atau panjang ruas garis lurus dari titik A ke titik proyeksinya di A’ pada garis gdisebut d.

4.    Untuk menghitung jarak antara titik A dan garis g dibuat segitiga yang memuat titik A dan garis g, kemudian dapat digunakan aturan sebagai berikut:

a.    Teorema Phytagoras

Misalnya suatu titik Ake garis BC membentuk suatu bidang berbentuk segitiga sama kaki seperti gambar berikut.

Maka, jarak terdekat titik A ke garis BC adalah AA’

Titik AA’ dapat ditentukan dengan teorema phytagoras, yakni:

 Luas segitiga

Misalnya suatu titik Ake garis BC membentuk suatu bidang berbentuk segitiga siku-siku seperti gambar berikut.

Maka, jarak terdekat titik A ke garis BC adalah AA’.

Titik AA’ dapat ditentukan dengan luas segitiga ABC yang dapat dihitung dengan cara berikut:

 

 Trigonometri

Misalnya suatu titik Ake garis BC membentuk suatu bidang berbentuk segitiga sembarang seperti gambar berikut.

Maka, jarak terdekat titik A ke garis BC adalah AA’.

Titik AA’ dapat ditentukan dengan luas segitiga ABCyang dapat dihitung dengan cara berikut:

Berdasarkan aturan sinus, diperoleh persamaan

Berdasarkan aturan cosinus, diperoleh nilai cos B

Melalui nilai cos B dapat ditentukan nilai sin B

Nilai sin B kemudian disubstitusikan ke persamaan

d.    Jarak titik A (a,b) dengan garis g dengan persamaan px + qy + r = 0

 

Jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Ruas garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut disebutd, yaitu jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0.

Gradien garis px + qy + r = 0 adalah −(p/q)

Maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga

Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titik A(a, b) adalah

Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan.

Pertama, tentukan nilai absisnya, x₂,  terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y₂).

Setelah koordinat (x₂, y₂) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,

Agar lebih sederhana, kita tentukan x₂ – x₁ dan y₂ – y₁ terlebih dahulu, yaitu

 

 

 

Sehingga jarak antara titik (x₂, y₂) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.

 

Sehingga jarak antara titik A yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0 adalah

 Soal Latihan Bagian 1.

 1. Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui sebuah jajargenjang ABCD. Panjang DC = 30 cm, panjang BE = 5 cm serta panjang BC = 12 cm. tentukan jarak titik D dengan garis AB, dimana BC ┴ BE!.

2. Jika terdapat sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut, maka buktikanlah ada        tepat satu garis yang tegaklurus dengan garis yang diketahui!

3. Pada dimensidua, diketahui dua buah garis (missal k  dan l). Konstruksilah langkah – langkah      untuk menentukan kondisi g sedemikian hingga g ┴ k dan      g ┴ l !

4. Perhatikan gambar di bawah ini

Diketahui sebuah persegi ABCD. F adalah titik tengah OB serta panjang AB dua kali panjang EF. Jika panjang AC = 60 cm, maka tentukanlah jarak O ke garis EF!

 Soal Latihan Bagian 2.

1. Dwi berangkat dari kota A ke arah timur sejauh 13 km, setelah itu Dwi mengubah arah menuju barat laut sejauh 5 km. Lalu kembali menuju ke arah timur sejauh 13 km sehingga sampai di kota B. Tentukanlah jarak kota A dan kota B!

2. Pada dimensi dua, jika A = g ∩ l, mungkinkah ada k yang tegaklurus g dan sejajar l? jika ya, konstruksilah langkah-langkah agar kondisi tersebut terjadi, jika tidak, berikan alasannya!

3. Buktikan bahwa jika sebuah garis memotong dua garis sekaligus maka kedua garis tersebut sejajar!