Apakah kalian pernah memiliki pas photo?. Saya kira semua yang membaca blog ini pernah membuat pas photo. Pernahkah kalian memperhatikan wajah anda yang asli dengan yang di pas photo?. Bagaimana proporsinya?. Tentu saja sesuai ya dengan wajah kalian yang asli.

Wajah kalian yang asli dengan yang di pas photo merupakan salah satu contoh aplikasi dalam konsep kesebangunan. Kata kunci pada konsep kesebangunan adalah PROPORSI atau perbandingan. Jadi dalam geometri yang dalam hal ini adalah kesebangunan pada poligon terdapat konsep yang harus dipegang yaitu sisi yang bersesuaiaan membentuk perbandingan yang sama. Selain itu sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar.

Konsep kesebangunan merupakan konsep umum dari kekongruenan. Kekongruenan adalah kondisi dimana perbandingan dari sisi-sisi yang bersesuaian adalah 1. Sehingga perbandingan pada kesebangunan bisa selain 1 atau sama dengan 1. Hal ini mengindikasikan bahwa kalau dua bangun kongruen sudah pasti sebangun namun kalau dua bagun sebangun belum tentu kongruen.

Pada konsep kesebangunan pada segitiga ada beberapa teori yang dapat dijadikan dasar saat membuktikan dua buah segitiga sebangun atau tidak. Ini dapat dilihat dan didownload pada link berikut [lihat/download].

Untuk menambah pemahaman kalian, berikut terdapat beberapa soal latihan yang dapat dilihat dan didownload pada link berikut [lihat/download].

Metode Secant

Metode Secant merupakan suatu metode untuk menentukan nilai pendekatan salah satu akar dari suatu fungsi non linier. Bilamana fungsi tersebut memiliki lebih dari satu akar, maka metode ini hanya dapat mendekati salah satu akar saja. Hal serupa pula dapat diartikan bahwa aproksimasi akar yang didapatkan dari metode ini mungkin saja bukan satu-satunya akar dari fungsi yang diberikan.

Bila diperhatikan pada gambar di atas, terlihat bahwa pada metode secant dibutuhkan dia buah titik, sebut saja xi dan xi-1 yang tidak menyiaratkan adanya akar pada selang terebut atau f(xi) x f(xi-1) tidak harus negatif. Metode secant melakukan pendekatan terhadap kurva f(x)  dengan garis lurus yang menghubungkan titik (xi, f(xi)) dan (xi-1, f(xi-1)) yang tentukan memotong sumbu x. Absis dari titik potong ini akan menjadi nilai x selanjutnya. Dari gambar di atas, A, dan D merupakan nilai awal yang kita tentukan. Selanjutnya titik B dan C merupakan titik pada grafik fungsi dengan absis A dan D. Garis yang menghubungkan B dan C memotong sumbu x  di E. Selanjutnya yang digunakan adalah D dan E, sedangkan A tidak digunakan dalam perhitungan selanjutnya.

Adapun algoritma metode secant adalah sebagai berikut.

1.    Taksir nilai awal, xi dan xi-1 (tanpa ada syarat f(xi) x f(xi-1) < 0, namun f(xi) ≠ f(xi-1))

2.    Lakukan iterasi dengan menghitung nilai taksiran selanjutnya dengan rumus:

3.    Iterasi dinyatakan berhenti bila Ɛrh < Ɛ (Ɛ diberikan terlebih dahulu), dengan

Secara lengkap, teori tentang Metode Secant dapa dilihat pada video berikut (Menyusul)

KEKONGRUENAN

Secara sederhana, kekongruenan dapat diartikan sama persis, baik dari bentuk dan ukurannya. Konsep yang paling sering dikaitkan dengan konsep kekongruenan adalah segitiga.

Apabila kita membandingkan dua buah segitiga dimana sudut-sudut bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dengan perbadingan sama dengan 1 maka kedua segitiga itu disebut kongruen. Dari definisi dasar ini menyiratkan bahwa jika hanya sudutnya saja yang sama besar maka tidak bisa disimpulkan kongruen, namun bila sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan sama dengan 1 maka otomatis sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, postulat pertama yang bisa kita ambil adalah untuk membuktikan dua buah segitiga saling kongruen dapat dilakukan dengan membuktikan bahwa ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang.

Bagaimana bila yang diketahui dalam soal adalah dua segitiga dimana tidak ketiga sisinya diketahui?. Ada beberapa postulat yang mendukung bahwa untuk membuktikan dua buah segitiga saling kongruen namun dibutuhkan satu atau dua sudut yang bersesuaian sama besar. Untuk lebih jelasnya beberapa postulat lanjutan dapat dilihat dan didownload pada link berikut [lihat/download].

Metode Posisi Palsu (False Position Method)

Perhatikan gambar di atas, gambar tersebut merupakan interpretasi geometris dari metode posisi palsu. Metode posisi palsu merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengaproksimasi akar dari suatu fungsi non linier. Metode ini merupakan salah satu alternatif perbaikan metode bagi dua dimana metode ini dapat mempercepat kekonvergenan metode bagi dua. Sama halnya dengan metode bagi dua, metode posisi palsu juga diawali dengan memilih nilai titik awal, misalnya x₁ dan x₂, dengan syarat nilai fungsi dari kedua nilai tersebut berbeda tanda. Hal ini mengindikasikan bahwa akar berada diantara kedua nilai tersebut. Bila nilai awal yang dipilih tidak memenuhi syarat tersebut maka harus dilakukan pemilihan nilai awal yang lain. Dari nilai awal ini akan memberikan dua titik, yaitu (x₁,f(x₁)) dan (x₂, f(x₂)). Kedua titik ini dihubungkan dengan garis lurus dan memotong sumbu x sebut x₃, selanjutnya x₃ ini disebut posisi palsu dari akar yang sebenernya. Hal ini yang menjadi asal mula dari nama metode posisi palsu (False Position Method) atau dalam bahasa lainnya metode regula falsi.

Langkah – langkah perhitungan dengan metode posisi palsu adalah:

1.      Tentukan nilai x₁ dan x₂ dengan syarat f(x₁) x f(x₂)  < 0

2.      Tentukan nilai x₃ dengan formula:

3.      Untuk pergantian x₁ dan x₂ berikutnya ditentukan oleh f(x₁) x f(x₃)

4.      Syarat pergantian x₁ dan x₂ didasarkan pada panduan berikut.

a)      Jika f(x₁) x f(x₃) < 0, maka x₂ baru = x₃

b)      Jika f(x₁) x f(x₃) > 0 maka x₁ baru = x₃

c)      Jika f(x₁) x f(x₃)= 0 maka proses berhenti dan akarnya x₃

5.      Nilai tersebut digunakan untuk menghitung f(x₃) yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(x₁) dan f(x₂) sedemikian sehingga kedua nilai fungsi mempunyai tanda yang berbeda.

6.      Prosedur ini dilakukan berulang sampai nilai f(x₃)  mendekati nol.

Video terkait materi ini dapat dilihat pada link di bawah ini.

HUBUNGAN GARIS PADA BIDANG DATAR

Dalam ilmu geometri, terdapat beberapa istilah yang tidak didefinisikan tetapi diakui eksistensinya, misalnya titik, garis, dan bidang. Garis dapat dipandang sebagai gabungan sangat banyak titik yang tidak memiliki ujung. Ingat, yang mungkin kalian sebut sebagai garis AB, pada dasarnya itu adalah berkas garis. Pada dimensi dua, ada sangat banyak garis. Dari dua buah garis yang ada, mungkin akan saling berpotongan ataukah sejajar.

Dua garis dikatakan berpotongan bila memiliki tepat satu titik potong. Bagaimana kalau dua garis yang berhimpit?. Dalam konteks ini, garis yang berhimpit tidak dikatakan sebagai dua garis yang berpotongan krn pada dasarnya hanya ada satu garis. Dalam kondisi tertentu bila dua garis saling berpotongan dan membentuk sudut siku-siku. Nah, kondisi ini dinamakan berpotongan tegaklurus. Jadi, berpotongan tegaklurus merupakan suatu kondisi khusus dari berpotongan itu sendiri.

Dalam dimensi dua, dua garis yang tidak berpotongan pastilah sejajar. Dua garis yang sejajar tidak akan memiliki titik potong atau titik persekutuan. Dalam beberapa gambar yang diberikan dua garis yang tidak berpotongan namun terlihat memiliki kemiringan yang berbeda. Kondisi pada gambar ini tdk dapat dikatakan sejajar meskipun terlihat tidak berpotongan. Perlu diingat bahwa garis tidak memiliki batas, yang artinya bahwa garis itu bisa diperpanjang. Yang mungkin terjadi adalah kedua garis itu berpotongan pada perpanjangannya. Secara analitis, dua garis yang sejajar akan memiliki gradien yang sama. Namun tidak selalu dua garis dengan gradien yang sama otomatis akan sejajar.

Secara lebih lengkapnya, pemaparan ini dapat diunduh pada link ini [lihat/download]

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode untuk menentukan hampiran akar suatu fungsi riil. Dibandingkan dengan metode bagi dua, metode Newton-Raphson bisa diakatakan metode yang lebih mudah karena hanya memerlukan satu titik awal. Namun satu tambahan syarat pada metode Newton-Raphson adalah fungsi f harus memiliki turunan dan turunannya bersifat kontinu.

Metode Newton-Raphson merupakan metode yang menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Tapi garis lurus yang digunakan adalah garis singgung dari grafik fungsi yang diberikan. Jadi semakin dekat titik awal yang dipilih dengan akar sebenarnya, maka semakin konvergen ke akarnya.

Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan intepretasi geometric (sebuah metode yang didasarkan pada deret Taylor) seperti terlihat pada gambar di atas. Turunan pertama pada x_n ekuivalen dengan kemiringan:

  (bagi pembaca, coba jelaskan mengapa)

Yang bentuknya dapat dirubah menjadi:

, yang selanjutnya dinamakan dengan formula Newton-Raphson.

Gagasan dasar dari metode Newton-Raphson adalah grafik f dihampiri oleh garis-garis singgung yang bersesuaian. Adapun langkah-langkah dari metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut.

1.      Tentukan x₀  sebagai titik awal, selanjutnya tentukan, dengan ketentuan bahwa (bagi pembaca, coba paparkan apa yang terjadi bila pernyataan ini tidak diberikan?)

2.      Tetapkan x₁ sebagai titik potong  gasris singgung yang melaluidengan sumbu x. Untuk menentukan x₁ gunakan formula 

3.      Selanjutnya, dengan cara yang sama tentukan nilai x₂, x₃ dan seterusnya.

4.      Iterasi dapat dihentikan bila dua iterasi beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama atau.

Contoh:

Dengan metode Newton-Raphson, tentukanlah akar dari persamaan!

(solusi (berbantuan Microsoft excel) ini dapat dilihat pada video pembelajaran di bawah ini)

Metode Bagi Dua

Dalam matematika terapan sering ditemui masalah untuk mencari penyelesaian persamaan yang berbentuk f ( x) = 0 , dimana persamaan f ( x) dapat berbentuk sebagai persamaan aljabar, persamaan transenden atau persamaan campuran. Nilai-nilai x yang memenuhi disebut akar persamaan. Persoalan dalam mencari akar persamaan ini sering juga dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Sebelum ditemukannya komputer digital, terdapat sejumlah cara untuk mencari akar-akar persamaan seperti rumus kuadrat. Untuk beberapa kasus, akar-akar dapat diperoleh secara analitis, yakni penyelesaian yang dihasilkan akan memenuhi persamaan semula secara eksak. Namun masih ada banyak lagi yang kelihatannya sederhana seperti f (x) = e^{− x} − x tetapi tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam kasus demikian salah satu alternatif penyelesaiannya adalah dengan metode numerik, khususnya yang paling tepat metode-metode iterasi numeris. Dengan metode numerik penyelesaian yang dihasilkan berupa hampiran. Metode ini sangat penting dalam terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar dari suatu persamaan, salah satunya yang akan dibahas yaitu metode bagi dua.

METODE BAGI DUA

Metode ini didasarkan pada Teorema Nilai Antara untuk fungsi kontinu , yaitu bahwa suatu selang [a,b] harus memuat suatu titik nol f (akar persamaan f) bila f (a) dan f (b) berlawanan tanda, misalnya f (a) < 0, f (b) > 0 . Hal ini menyarankan metode pengulangan pembagiduaan selang dan dalam setiap langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyaratan tersebut.

Metode Bagi-Dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, dimana a < b, yang harus memenuhi f (a). f (b) < 0 sehingga selang (a, b) memuat satu akar riil. Mula-mula ditentukan titik tengah selang (a, b) , sebut titik tengahnya c. Diantara dua selang baru yang diperoleh yakni (a, c) dan (c, b), salah satu diantaranya pasti memuat akar. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang memuat akar tersebut. Proses pembagiduaan selang ini diulang dan dilanjutkan sampai lebar yang ditinjau cukup kecil atau dengan kata lain untuk memperoleh taksiran/hampiran yang diperhalus.

Penentuan selang yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil

kali  f (a). f (c) atau  f (c). f (b).

·         Bila f (a). f (c) < 0  maka akar berada pada selang (a,c)

·         Bila f (a). f (c) = 0 maka akarnya adalah c

·         Bila f (a). f (c) > 0 maka akar berada pada selang (c,b)

Secara geometri metode ini diilustrasikan pada Gambar di bawah ini.

Dalam algoritma Metode Bagi-Dua digunakan peubah-peubah: a sebagai ujung kiri selang, b sebagai ujung kanan selang, dan c sebagai titik tengah. Dari penjelasan diatas, Algoritma Metode Bagi-Dua dapat dibentuk sebagai berikut.

Masukan                     :   f ( x) , a, b dan epsilon

Keluaran                     : akar

Langkah-langkah        :

1. Periksa apakah    f (a). f (b) < 0 , jika tidak pilih a dan b yang baru sehingga f(  a). f (b) < 0
2. Hitung 
3.  Jika  f (a). f (c) < 0 maka b : = c, lanjutkan ke langkah 4, Jika  f (a). f (c) > 0 maka a : = c, lanjutkan ke langkah ke langkah 4,  Jika  f (a). f (c) = 0 maka akar persamaan adalah c, hitungan selesai
4.  Jika b − a ≤ epsilon maka akar c dan hitungan selesai. Jika tidak ulangi langkah 2.

Lembar kerja dapat diunduh pada link berikut [lihat/download]

Sebagai tambahan sumber belajar serta bahan untuk latihan soal, video pembelajaran tentang metode bagi dua dapat dilihat pada video di bawah ini.